¿Cuánto tiempo pasará antes de que ocurra un terremoto en una región determinada? ¿Cuánto tiempo debemos esperar hasta que un cliente ingrese a nuestra tienda? ¿Cuánto tiempo pasará antes de que un centro de llamadas reciba la próxima llamada telefónica? ¿Cuánto tiempo funcionará una pieza de maquinaria sin romperse? Preguntas como estas se responden con frecuencia en términos probabilísticos utilizando la distribución exponencial.
Todas estas preguntas se refieren al tiempo que debemos esperar antes de que ocurra un evento determinado. Si este tiempo de espera es desconocido, a menudo es apropiado pensarlo como una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial.
En términos generales, el tiempo X que debemos esperar antes de que ocurra un evento tiene una distribución exponencial si la probabilidad de que ocurra durante un cierto intervalo de tiempo es proporcional a la duración de ese intervalo de tiempo.
Más precisamente, X tiene una distribución exponencial si la probabilidad condicional
p(t<x≤t+∆tx>t)
es aproximadamente proporcional a la longitud ∆t del intervalo de tiempo comprendido entre los tiempos t y t +∆t, para cualquier momento instantáneo t.
En muchas situaciones prácticas, esta propiedad es muy realista. Esta es la razón por la cual la distribución exponencial se usa tanto para modelar los tiempos de espera.
La distribución exponencial está estrictamente relacionada con la distribución de Poisson. Si 1) un evento puede ocurrir más de una vez y 2) el tiempo transcurrido entre dos eventos sucesivos se distribuye exponencialmente e independiente de eventos anteriores, entonces el número de eventos del evento dentro de una unidad de tiempo dada tiene una distribución de Poisson.
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Definición de distribución exponencial
La distribución exponencial se caracteriza de la siguiente manera.
Si x una variable aleatoria continua. Que su soporte sea el conjunto de números reales positivos:
Rx = [o,∞]
Deje λ ∈ R++. Decimos que x tiene una distribución exponencial con el parámetro λ si y solo si su función de densidad de probabilidad es
Una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial también se llama variable aleatoria exponencial.
La siguiente es una prueba de que fxx es una función legítima de densidad de probabilidad.
El parámetro de velocidad y su interpretación.
Hemos mencionado que la probabilidad de que el evento ocurra entre dos fechas t y t+∆ es proporcional a ∆t (condicional a la información de que no ha ocurrido antes de t). El parámetro de tasa λ es la constante de proporcionalidad:
P(t<X≤t+∆tX>t) = λ∆t+ο(∆t)
donde ο(∆t) es un orden infinitesimal de orden superior a ∆t (es decir, una función de ∆t que va a cero más rápidamente que ∆t).
La condición de proporcionalidad anterior también es suficiente para caracterizar completamente la distribución exponencial.
La condición de proporcionalidad
P(t<X≤t+∆tX>t) = λ∆t+ο(∆t)
se satisface solo si X tiene una distribución exponencial.
Valor esperado
El valor esperado de una variable aleatoria exponencial X es
E[x] = 1/λ
Diferencia
La varianza de una variable aleatoria exponencial X es
Var[x] = 1/λ²
Función generadora de momentos
La función generadora de momento de una variable aleatoria exponencial X se define para cualquier t<λ
Mx(t) = λ/λ-t
Función característica
La función característica de una variable aleatoria exponencial X es
φx(t) = λ/λ-it
Función de distribución
La función de distribución de una variable aleatoria exponencial X es
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