Cálculo de Derivada e Integral

Las herramientas de trabajo fundamentales en el cálculo, la derivada e integral, impregnan todos los aspectos de la naturaleza del modelado en las ciencias físicas. Te presentamos en este artículo una planilla descargable en formato Excel para hacer el cálculo de la derivada e integral de manera sencilla.

Cálculo de Derivada e Integral

Antes de saber cómo hacer el cálculo de derivada e integral, veamos algunos conceptos básicos:

Derivada

La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática f (x) representada como una función de x. Pero sus implicaciones para el modelado de la naturaleza van mucho más allá de lo que podría implicar esta simple aplicación geométrica. La derivada resulta ser mucho más importante de lo que quizás imaginas.

La mayor parte de su importancia se encuentra en el hecho de que muchas entidades físicas, como la aceleración, la velocidad y la fuerza entre otras, son definidas como tasas de cambio instantáneas de alguna otra cantidad. La derivada puede entonces darle un valor instantáneo más preciso a esas tasas de cambio y llevar a un modelado preciso de la cantidad deseada.

Cálculo de la derivada

Una parte del cálculo de derivada e integral es saber cómo hacer el cálculo de la derivada:

Regla de suma derivada

Cuando a y b son constantes.

(a f (x) + bg (x)) ‘= a f’ (x) + bg ‘(x)

Ejemplo:
Encuentre la derivada de:

3×2 + 4x.

De acuerdo con la regla de la suma:

a = 3, b = 4

f (x) = x2, g (x) = x

f ‘(x) = 2x, g’ (x) = 1

(3×2 + 4x) ‘= 3⋅2x + 4⋅1 = 6x + 4

Regla de producto derivado

(f (x) ∙ g (x)) ‘= f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(x)

Regla del cociente derivado

(f(x)/g(x))’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) / g2(x)

Regla de cadena derivada

f (g (x)) ‘= f’ (g (x)) ∙ g ‘(x)

Esta regla se puede entender mejor con la notación de Lagrange:

df/dx=df/dg.dg/df

Integral

La integral de una función puede interpretarse geométricamente como el área bajo la curva de la función matemática f (x) trazada como una función de x. Esta puede verse al dibujar una cantidad de bloques útiles para aproximar el área que se encuentra bajo una curva compleja. De esta manera se obtiene una respuesta mejor si usa más bloques.

La integral ofrece una forma matemática para dibujar un número infinito de bloques para así obtener una expresión analítica y precisa para el área. Esto resulta importante en áreas como la geometría, y más profundamente importante para las ciencias físicas. En estas, las definiciones de varias entidades físicas pueden presentarse en una forma matemática en el área que se encuentra bajo una curva.

El área total de un bloque que se encuentre debajo de la curva puede ser considerada como el ancho de la tira ponderada multiplicada por la altura de la misma tira. Muchas de las propiedades de cuerpos continuos dependerán de ciertas sumas ponderadas, que a su vez, para ser exactos, deben ser sumas ponderadas infinitas, lo que representa un problema hecho a medida para la integral.

Por ejemplo, hallar el centro de masa de un cuerpo continuo implicará ponderar cada elemento de masa por su distancia partiendo de un eje de rotación. Para este proceso la integral es un cálculo necesario si se espera obtener un valor preciso. Existen una gran cantidad de problemas físicos que implican sumas infinitas en sus soluciones. Esto convierte a la integral en una herramienta esencial para quienes trabajan con cálculos físicos.

Cálculo de la Integral

La otra parte del cálculo de derivada e integral es el cálculo de la integral que se hace de la siguiente manera:

La integral definida (también llamada integral de Riemann) de una función f (x) se denota como:

derivada e integral

y es igual al área de la región delimitada por la curva (si la función es positiva entre x = a y x = b) y = f (x), el eje xy las líneas x = a y x = b . Una integral indefinida, a veces llamada antiderivada, de una función f (x), denotada por

derivadas e integral

es una función cuya derivada es f (x). Debido a que la derivada de una constante es cero, la integral indefinida no es única. El proceso de encontrar una integral indefinida se llama integración.

Haz de manera sencilla el cálculo de Derivada e Integral con la planilla que te ofrecemos a continuación en formato Excel y que puedes descargar de manera gratuita.

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