Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una transformación integral, quizás solo superada por la transformada de Fourier en su utilidad para resolver problemas físicos. Es particularmente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias como las que surgen en el análisis de circuitos electrónicos.

Historia 

La transformación en matemáticas trata con la conversión de una función a otra función que puede no estar en el mismo dominio. El método de transformación encuentra su aplicación en aquellos problemas que no se pueden resolver directamente. Esta transformación lleva el nombre del matemático y famoso astrónomo Pierre Simon Laplace que vivió en Francia.

Usó una transformación similar en sus adiciones a la teoría de la probabilidad. Se hizo popular después de la Segunda Guerra Mundial. Esta transformación se hizo popular por Oliver Heaviside, un ingeniero eléctrico inglés. Otros científicos famosos como Niels Abel, Mathias Lerch y Thomas Bromwich la usaron en el siglo XIX.

La historia completa de la transformada de Laplace puede rastrearse un poco más al pasado, más específicamente a 1744. Esto es cuando otro gran matemático llamado Leonhard Euler estaba investigando otros tipos de integrales. Sin embargo, Euler no lo persiguió muy lejos y lo dejó. Un admirador de Euler llamado Joseph Lagrange; hizo algunas modificaciones al trabajo de Euler e hizo más trabajo.

El trabajo de LaGrange llamó la atención de Laplace 38 años después, en 1782, quien continuó retomando donde lo dejó Euler. Pero no fue sino hasta 3 años después, en 1785, donde Laplace tuvo un golpe de genio y cambió la forma en que resolvemos ecuaciones diferenciales para siempre. Continuó trabajando en ello y desbloqueando el verdadero poder de la transformada de Laplace hasta 1809, donde comenzó a usar el infinito como una condición integral.

Definición

Este método es un sistema que se basa en álgebra (en lugar de métodos basados en cálculos) para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Si bien puede parecer un método un tanto engorroso a veces, es una herramienta muy poderosa que nos permite lidiar fácilmente con ecuaciones diferenciales lineales con funciones de forzamiento discontinuo.

La transformada de Laplace f (p), también denotada por L {F (t)} o Lap F (t), se define por la integral

transformada de Laplace

implicando el parámetro exponencial p en el núcleo K = e − pt. El operador lineal de Laplace L transforma así cada función F (t) de un determinado conjunto de funciones en alguna función f (p). La transformación inversa F (t) se escribe L − 1 {f (p)} o Lap − 1f (p).

Función

En matemáticas funciona como una expresión, regla o ley que define una relación entre una variable (la variable independiente) y otra (la variable dependiente). Las funciones son omnipresentes en matemáticas y son esenciales para formular relaciones físicas en las ciencias. La definición moderna de función fue dada por primera vez en 1837 por el matemático alemán Peter Dirichlet.

Esta relación se simboliza comúnmente como y = f (x). Además de f (x), a menudo se usan otros símbolos abreviados como g (x) y P (x) para representar funciones de la variable independiente x, especialmente cuando la naturaleza de la función es desconocida o no está especificada.

Funciones comunes

Muchas fórmulas matemáticas ampliamente utilizadas son expresiones de funciones conocidas. Por ejemplo, la fórmula para el área de un círculo, A = πr2, da la variable dependiente A (el área) en función de la variable independiente r (el radio). Las funciones que involucran más de dos variables también son comunes en matemáticas, como se puede ver en la fórmula para el área de un triángulo, A = bh / 2, que define A como una función de b (base) y h (altura).

En estos ejemplos, las restricciones físicas obligan a las variables independientes a ser números positivos. Cuando a las variables independientes también se les permite tomar valores negativos, las funciones se conocen como funciones con valores reales.

Otro tipo común de función que se ha estudiado desde la antigüedad son las funciones trigonométricas, como sen x y cos x, donde x es la medida de un ángulo. Debido a su naturaleza periódica, las funciones trigonométricas a menudo se usan para modelar comportamientos que se repiten o “ciclos”. Las funciones nogebraicas, como las funciones exponenciales y trigonométricas, también se conocen como funciones trascendentales.

Funciones complejas

Las aplicaciones prácticas de funciones cuyas variables son números complejos no son tan fáciles de ilustrar, pero sin embargo son muy extensas. Ocurren, por ejemplo, en ingeniería eléctrica y aerodinámica. Si la variable compleja se representa en la forma z = x + iy, donde i es la unidad imaginaria (la raíz cuadrada de −1) y x e y son variables reales (ver figura), es posible dividir la función compleja en partes reales e imaginarias: f (z) = P (x, y) + iQ (x, y).

Funciones inversas

Al intercambiar los roles de las variables independientes y dependientes en una función dada, se puede obtener una función inversa. Las funciones inversas hacen lo que su nombre implica: deshacen la acción de una función para devolver una variable a su estado original.

Por lo tanto, si para una función dada f (x) existe una función g (y) tal que g (f (x)) = x y f (g (y)) = y, entonces g se llama la función inversa de f y dada la notación f − 1, donde por convención las variables se intercambian. Por ejemplo, la función f (x) = 2x tiene la función inversa f − 1 (x) = x / 2.

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