Distribución Binomial Negativa

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad que se usa con variables aleatorias discretas. Este tipo de distribución se refiere al número de pruebas que deben ocurrir para tener un número predeterminado de éxitos. Como veremos está relacionada con la distribución binomial. Además, esta distribución generaliza la distribución geométrica.

¿Qué es una distribución binomial negativa?

Una distribución binomial negativa (también llamada Distribución Pascal) es una distribución de probabilidad discreta para variables aleatorias en un experimento binomial negativo.

La variable aleatoria es el número de pruebas repetidas, X, que producen un cierto número de éxitos, r. En otras palabras, es el número de fallas antes de un éxito. Esta es la principal diferencia con respecto a la distribución binomial: con una distribución binomial regular, estás viendo la cantidad de éxitos. Con una distribución binomial negativa, lo que cuenta es la cantidad de fallas.

¿Por qué se llama binomial negativa?

Cuando escuchas el término negativo, podrías pensar que una distribución positiva se voltea sobre el eje x, haciéndola negativa. Sin embargo, la parte “negativa” del binomio negativo en realidad se deriva del hecho de que se invierte una faceta de la distribución binomial: en un experimento binomial, se cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos; en el ejemplo anterior, estás contando cuántos ases sacas. En un experimento binomial negativo, estás contando las fallas, o cuántas cartas te lleva elegir dos ases.

La fórmula binomial negativa

Probabilidad:

b * (x; r, P) = x-1Cr-1 * Pr * (1 – P) x – r

Notación

La siguiente notación es útil cuando hablamos de probabilidad binomial negativa.

  • x: El número de ensayos requeridos para producir r éxitos en un experimento binomial negativo.
  • r: El número de éxitos en el experimento binomial negativo.
  • P: La probabilidad de éxito en un ensayo individual.
  • Q: La probabilidad de falla en un ensayo individual. (Esto es igual a 1 – P.)
  • b * (x; r, P): probabilidad binomial negativa: la probabilidad de que un experimento binomial negativo x-trial resulte en el rth éxito en el xth trial, cuando la probabilidad de éxito en un ensayo individual es P.
  • nCr: El número de combinaciones de n cosas, tomadas r a la vez.

Probabilidad binomial negativa

La probabilidad binomial negativa se refiere a la probabilidad de que un experimento binomial negativo dé como resultado r – 1 éxitos después de la prueba x – 1 yr éxitos después de la prueba x. Por ejemplo, en la tabla anterior, vemos que la probabilidad binomial negativa de obtener la segunda cara en el sexto lanzamiento de la moneda es 0.078125.

La media de la distribución binomial negativa

Si definimos la media de la distribución binomial negativa como el número promedio de ensayos necesarios para producir r éxitos, entonces la media es igual a:

μ = r / P

donde μ es el número medio de intentos, r es el número de éxitos y P es la probabilidad de éxito en cualquier ensayo dado.

Función de probabilidad

La función de masa de probabilidad para una distribución binomial negativa se puede desarrollar con un poco de reflexión. Cada prueba tiene una probabilidad de éxito dada por p. Como solo hay dos resultados posibles, esto significa que la probabilidad de falla es constante (1 – p).

El rth éxito debe ocurrir para la prueba xth y final. Las pruebas x – 1 anteriores deben contener exactamente r – 1 éxitos. La cantidad de formas en que esto puede ocurrir viene dada por la cantidad de combinaciones:

C (x – 1, r -1) = (x – 1)! / [(R – 1)! (X – r)!].

Además de esto, tenemos eventos independientes, por lo que podemos multiplicar nuestras probabilidades juntas. Al poner todo esto junto, obtenemos la función de masa de probabilidad

f (x) = C (x – 1, r -1) pr (1 – p) x – r.

Varianza

La varianza de la distribución binomial negativa también se puede calcular utilizando la función de generación de momentos. Cuando hacemos esto, vemos que la varianza de esta distribución viene dada por la siguiente fórmula:

r (1 – p) / p2

Función generadora de momentos

La función generadora de momento para este tipo de variable aleatoria es bastante complicada. Recuerde que la función de generación de momentos se define como el valor esperado E [etX]. Al usar esta definición con nuestra función de masa de probabilidad, tenemos:

M (t) = E [etX] = Σ (x – 1)! / [(R – 1)! (X – r)!] EtXpr (1 – p) x – r

Después de un poco de álgebra, esto se convierte en M (t) = (pet) r [1- (1- p) et] -r

Relación con otras distribuciones

La distribución binomial negativa es similar en muchos aspectos a la distribución binomial. Además de esta conexión, la distribución binomial negativa es una versión más general de una distribución geométrica.

Una variable aleatoria geométrica X cuenta el número de pruebas necesarias antes de que ocurra el primer éxito. Es fácil ver que esta es exactamente la distribución binomial negativa, pero con r igual a uno. Existen otras formulaciones de esta distribución. Algunos libros de texto definen que X es el número de pruebas hasta que se producen fallas r.

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