Distribución Multinomial

La distribución multinomial se usa para encontrar probabilidades en experimentos donde hay más de dos resultados.

¿Qué es la distribución multinomial?

Este es el tipo de distribución de probabilidad utilizada para calcular los resultados de experimentos que involucran dos o más variables. La distribución binomial más ampliamente conocida es un tipo especial de este tipo de distribución en la que solo hay dos resultados posibles, como verdadero / falso o cara / cruz.

En finanzas, los analistas usan la distribución multinomial para estimar la probabilidad de que ocurra un conjunto dado de resultados, como la probabilidad de que una compañía reporte ganancias mejores a las esperadas mientras que sus competidores reportan ganancias decepcionantes.

Comprender la distribución multinomial

La distribución multinomial se aplica a los experimentos en los que se cumplen las siguientes condiciones:

  • El experimento consiste en pruebas repetidas, como lanzar un dado cinco veces en lugar de solo una.
  • Cada juicio debe ser independiente de los demás. Por ejemplo, si se tiran dos dados, el resultado de un dado no afecta el resultado de los otros.
  • La probabilidad de cada resultado debe ser la misma en cada instancia del experimento. Por ejemplo, si un dado tiene seis lados, entonces debe haber una probabilidad entre seis de que se dé cada número en cada tirada.
  • Cada prueba debe producir un resultado específico, como un número entre dos y 12 si se lanzan dos dados de seis lados.

Si seguimos con el ejemplo de los dados, supongamos que ejecutamos un experimento en el que tiramos dos dados 500 veces. Nuestro objetivo es calcular la probabilidad de que el experimento produzca los siguientes resultados en los 500 ensayos:

El resultado será:

  • “2” en el 15% de los ensayos;
  • “5” en el 12% de los ensayos;
  • “7” en el 17% de los ensayos; y
  • “11” en el 20% de los ensayos.

La distribución multinomial nos permitiría calcular la probabilidad de que ocurra la combinación de resultados anterior. Aunque estos números fueron elegidos arbitrariamente, se puede realizar el mismo tipo de análisis para experimentos significativos en ciencia, inversión y otras áreas.

Fórmula Multinomial

Supongamos que un experimento multinomial consta de n ensayos, y cada ensayo puede dar como resultado cualquiera de los k posibles resultados: E1, E2,. . . Ek. Supongamos, además, que cada posible resultado puede ocurrir con probabilidades p1, p2,. . . pk. Entonces, la probabilidad (P) de que E1 ocurra n1 veces, E2 ocurra n2 veces,. . . , y Ek ocurre nk veces es:

P = [n! / (n1! * n2! * … nk!)] * (p1n1 * p2n2 *… * pknk)

donde n = n1 + n2 +. . . + nk.

Experimentos binomiales versus multinomiales

El primer tipo de experimento introducido en las estadísticas elementales suele ser el experimento binomial, que tiene las siguientes propiedades:

  • Número fijo de n intentos.
  • Cada juicio es un evento independiente.
  • Solo son posibles dos resultados (Éxito y Fracaso).
  • La probabilidad de éxito (p) para cada ensayo es constante.
  • Una variable aleatoria Y = el número de éxitos.

Un experimento multinomial es casi idéntico con una diferencia principal: un experimento binomial puede tener dos resultados, mientras que un experimento multinomial puede tener múltiples resultados.

Ejemplo: Lanzas un dado diez veces para ver qué número lanzas. Hay 6 posibilidades (1,2,3,4,5,6), por lo que este es un experimento multinomial. Si tira el dado diez veces para ver cuántas veces tira un tres, eso sería un experimento binomial (3 = éxito, 1,2,4,5,6 = fracaso).

Un experimento binomial tendrá una distribución binomial. Un experimento multinomial tendrá una distribución multinomial.

Ejemplo real

En el contexto de la inversión, un administrador de cartera o un analista financiero podría usar la distribución multinomial para estimar la probabilidad de (a) un índice de pequeña capitalización superando a un índice de gran capitalización el 70% del tiempo, (b) el índice de gran capitalización superando el índice de pequeña capitalización el 25% del tiempo, y (c) los índices que tienen el mismo (o aproximado) devuelven el 5% del tiempo.

En este escenario, la prueba podría llevarse a cabo durante un año completo de días de negociación, utilizando datos del mercado para medir los resultados. Si la probabilidad de este conjunto de resultados es suficientemente alta, el inversor podría verse tentado a realizar una inversión sobreponderada en el índice de pequeña capitalización.

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